domingo, 19 de octubre de 2008
sábado, 18 de octubre de 2008
viernes, 17 de octubre de 2008
jueves, 16 de octubre de 2008
FUNCIONES DE PROBABILIDAD
¿Cuáles son las relaciones entre dos conjuntos cuando hablamos de probabilidades?
FUNCION DE DISTRIBUCION
Variable aleatoria-Resultado del experimento con la frecuencia de esa variable.
Experimento “2 dados y sumar sus caras”
S= {(1,1), (1,2), (1,3)…}
n(s)=36
p(x=2)= 1/36 p(x=3)= 2/36 p(x=4)= 3/36
FUNCIONES DE DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD
Rango de la función- valores que puede tomar la variable.
Si el experimento:
Se tiran 2 dados y suma el valor de su caras
La variable aleatoria X es el resultado de la suma de sus valores
X= {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}
(x=8) p(x=8)= n(8)/n(s)= 5/36
La variable aleatoria representa la suma de los valores de las caras de los dos dados.
Cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado obtenga una suma de 5 o menos.
R=10/36
=1/36+2/36+3/36+4/36=10/36
Una variable aleatoria asigna un numero real a cada resultado del espacio muestral
S= {(1,1), (1,2), (1,3)…}
Una variable aleatoria disreta es aquella con un rango finito.
X= {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}
Podemos contar el rango--- es finito por lo tanto es una variable aleatoria discreta.
Si estamos hablando de el tiempo de espera de un avión que llegue al aeropuerto
Variable continúa
El evento que está formado para todos los resultados donde (X=x)
X-----------variable aleatoria
x-----------valor que toma la variable
Se denota como:
{X=x} y la probabilidad asociada
P{X=x}
FUNCION DE PROBABILIDAD O FUNCION DE DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD
La función f(x)= a la probabilidad
f(x)= (x)
f(x)= p(x=x) [0,1]
la función f(x)=p(x=x) que va del conjunto de los valores posibles de la variable aleatoria disreta x al intervalo cerrado [0,1] recibe el nombre de función de probabilidad.
Para una variable aleatoria f(x) satisface:
1) f(x)= p(x=x)
2) f(x)mayor o igual a 0 para toda x
Se evalúa:
CLIENTE 1 CLIENTE 2 P(x)
Aprobado Aprobado 0.64
Modificar Aprobado 0.16
Aprobado Modificar 0.16
Modificar Modificar 0.04
Encuentre la función de probabilidad
1) ¿Cuál es la variable aleatoria?
sea x una variable aleatoria que denota el numero de muestras de aire que es necesario analizar;supongase que la probabilidad de que una muestra contenga una molecula rara es de 0.01 y que las muestras son independientes determine la distribucion de probabilidad de x.
p(muestra contenga una molecula rara)=0.01
n-no contiene molecula rara (muestra)
s-si contiene una molecula rara (muestra)
x-1=numero de muestras que no continen la molecula rara
p(s)=0.01
p(s´)=1-0.001=0.99
s={s,ns,nns,nnnns...}
p(x=3)=
Un operador registra el tiempo (redondeado al segundo mas cercano requerido para terminar un ensamble mecanico) optiene los siguientes resultados:
Segundos (x) 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
No. De ensamble 3 5 6 9 12 25 32 15 9 6 ∑=122
x es el tiempo necesario para terminar con un ensamble
a)Determine la funcion de probabilid de x.
b) Determine la probabilidad de que (33<=x<38) 122/3="0.024" 112/5="0.04" 112/6="0.049" 122/9="0.07" 122/12="0.098" 122/25="0.02" 122/32="0.26" 122/15="0.12" 122/9="0.07" 122/6="0.049" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiKprcKCXF0EOMMJgg5y0YotjFmqzKNW87gCbSLM_ySFcXlnLOEWG_RKpopihkymmum73U9kl83SiZ77CDvhuMP4rC8QmHU-IJWPXFTQT3LLn7WK5Nd1Qi_Q5e92QuxtLaSSpeejaM3IoUt/s1600-h/tabla.bmp">
b) P(33<=x<38)= x="33)+P(x=" x="35)+P(x=" x="37)=" 12="0.751" 2="0.48" ensambles=" 0.48(122)=">FUNCION DE DISTRIBUCION ACUMULADA
X -2 -1 0 1 2
f(x) 1/8 2/8 2/8 1/8 1/8
a) verifique que es una funcion de probabilidad. sì lo es ya que a cada x le corresponde un valor.
b) P(x<=2)= P(x=-2+-1+0+1+2 =1 c) P(x>-2)= 7/8
d) P(-1<=x<=1)=6/8
e) P(x<=-1 ò x=2)= 4/8=1/2
¿cual es la probabilidad de que no me encuentre una molecula rara?
1-(molecula rara probable)
b) P(x=0)=0.99^0-1 (0.01)= no es factible
c
Unidad II probabilidad
Unidad II probabilidad
*posibilidad de que ocurra algo
*suceso-acontecimiento
*pronostico
*adelantarse al acontecimiento
¿Existirá una sola interpretación de probabilidad?
1- Percepción distinta
2- 4/52= numero de aces = suposición = (todos los eventos tienen la misma
Numero de cartas oportunidad de se ciertos)
3- Frecuentista: función de los eventos que se están observando (midiendo)
P(x=2)= 1/6 si el dado no esta cargado
P(x=sol)=1/2 si la moneda no esta modificada
ALEATORIA: Al azar-Tin marin
Todos los elementos de una muestra tienen la misma oportunidad de ser seleccionados (muestreo aleatorio)
No existe "sesgo" o preferencia, como lo menciono el profesor.
¿Que es un conjunto?
EXPERIMENTO ALEATORIO
Por ejemplo lanzar una moneda.
Esta fue una de las definiciones que dimos en clase sobre EXPERIMENTO ALEATORIO:
Es aquel que proporciona diferentes resultados aun cuando se repita siempre de la misma manera.
ESPACIO MUESTRAL:
Conjunto de los posibles resultados de un experimento aleatorio y se denota por la letra s.
S= {S,A,SSA,A,S,S,SA}
EXPERIMENTO DE LANZAR UN DADO DOS VECES:
1 2 3 4 5 6
1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4 (4,5) (4,6)
5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
¿CUAL ES LA PROBABILIDAD DE QUE LA SUMA DE LOS DADOS SEA CINCO?
P(suma cinco)= 4/36= 1/9
P(mismo valor)= 1/6
considerese el experimento en el que cada 10 minutos se verifica el volumen de llenado de laras de refresco de una maquina llenadora automatica con la finalidad de determinar si las latas cumplen con las especificaciones de volumen de llenado.Continue la evaluacion hasta encontrar una lata que no cumple con las especificaciones.
ENCUENTRA EL ESPACIO MUESTRAL:
S={n,sn,ssn,sssn,...}
S= esta bien cumple con las especificaciones
N= no cumple con las especificaciones
1) En el diagrama que colocamos a continuación, se han volcado los datos obtenidos en una encuesta, realizada a personas, donde se les preguntó si tomaban té o café. Los números que aparecen se refieren a las cantidades de personas que respondieron a la pregunta en las diversas formas posibles: solamente té, té y café, ninguna de las dos bebidas, etc.
En base a estos datos responderemos a las siguientes preguntas:
¿Cuántas personas tomaban té? Rta. 6 personas.
¿Cuántas personas tomaban café? Rta. 9 personas.
¿Cuántas personas tomaban té y café? Rta. 4 personas.
¿Cuántas personas no tomaban ninguna de las dos bebidas? Rta. 1 persona.
¿Cuántas personas no tomaban té? Rta. 6 personas.
¿Cuántas personas no tomaban café? Rta. 3 personas.
¿Cuántas personas tomaban por lo menos una de esas dos bebidas? Rta. 11 personas.
¿Cuántas personas tomaban sólo una de esas dos bebidas? Rta. 7 personas.
¿Cuántas personas tomaban sólo café? Rta. 5 personas.
¿Cuántas personas tomaban alguna de esas bebidas? Rta. 11 personas.
. Experimentos aleatorios. Espacio muestral.
Experimentos o fenómenos aleatorios son los que pueden dar lugar a varios resultados, sin que pueda ser previsible enunciar con certeza cuál de éstos va a ser observado en la realización del experimento.
Si dejamos caer una piedra o la lanzamos, y conocemos las condiciones iniciales de altura, velocidad, etc., sabremos con seguridad dónde caerá, cuánto tiempo tardará, etc. Es una experiencia determinista. Si echamos un dado sobre una mesa, ignoramos qué cara quedará arriba. El resultado depende del azar. Es una experiencia aleatoria.
La vida cotidiana está plagada de sucesos aleatorios. Muchos de ellos, de tipo sociológico (viajes, accidentes, número de personas que acudirán a un gran almacén o que se matricularán en una carrera...) aunque son suma de muchas decisiones individuales, pueden ser estudiados, muy ventajosamente, como aleatorios.
Espacio muestral es el conjunto formado por todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. En adelante lo designaremos por E.
A la colección de resultados que se obtiene en los experimentos aleatorios se le llama espacio muestral.
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Ejemplos:
En un dado, E={1,2,3,4,5,6}
En una moneda, E={C,+}
Suceso aleatorio es un acontecimiento que ocurrirá o no, dependiendo del azar.
Ejercicio 1-1:
Describe el espacio muestral asociado a cada uno de los siguientes experimentos aleatorios:
Lanzar tres monedas.
Lanzar tres dados y anotar la suma de los puntos obtenidos.
Extracción de dos bolas de una urna que contiene cuatro bolas blancas y tres negras.
El tiempo, con relación a la lluvia, que hará durante tres días consecutivos.
Solución:
Llamando C a obtener cara y X a la obtención de cruz, obtenemos el siguiente espacio muestral:
E={(CCC),(CCX),(CXC),(XCC),(CXX),(XCX),(XXC),(XXX)}
E={3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18}
Llamando B a sacar bola blanca y N a sacar bola negra, tenemos:
E={BB,BN,NN}
Si llamamos L al día lluvioso y N al día sin lluvia, para tres días consecutivos se obtiene el siguiente espacio muestral:
E={(LLL),(LLN),(LNL),(NLL),(LNN),(NLN),(NNL),(NNN)}
2. Sucesos. Operaciones con sucesos.
2.1. Sucesos.
En el Ejercicio 1.1 del capítulo anterior podemos ver que el espacio muestral asociado al lanzamiento de tres dados y anotar la suma de los puntos obtenidos es:
E={3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18}
Podemos considerar algunos subconjuntos de E, por ejemplo:
Salir múltiplo de 5:
A={5,10,15}
Salir número primo:
C={2,3,5,7,11,13,17}
Salir mayor o igual que 12:
D={12,13,14,15,16,17,18}
Todos estos subconjuntos del espacio muestral E los llamamos sucesos. Suceso de un fenómeno o experimento aleatorio es cada uno de los subconjuntos del espacio muestral E.
Los elementos de E se llaman sucesos individuales o sucesos elementales.
También son sucesos el suceso vacío o suceso imposible , Ø, y el propio E, suceso seguro.
Al conjunto de todos los sucesos de una experiencia aleatoria lo llamaremos S.
Si E tiene un número finito, n, de elementos, el número de sucesos de E es 2n.
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Ejemplos:
{1,2},{2,4,6},{3,5} son sucesos. {1},{2}, {3}..., son sucesos individuales.
En un dado hay 26 = 64 sucesos.
En una moneda hay 22 = 4 sucesos, que son: Ø, {C},{+}, {C,+}
Es decir, S={Ø,{C},{+},{C,+}}
Ejercicio 2.1-1:
Se considera el sexo de los hijos de las familias de tres hijos. Sea A el suceso el hijo mayor es una hembra, y B el suceso los dos hijos pequeños son varones. ¿Cuáles son los elementos de A y B?
Solución:
Llamando V a ser varón y H a ser hembra, el espacio muestral está formado por los sucesos elementales:
E={(VVV),(VVH),(VHV),(HVV),(VHH),(HVH),(HHV),(HHH)}
Y los sucesos A y B son compuestos y están formados por los siguientes sucesos elementales:
A={(HHH),(HHV),(HVH),(HVV)}
B={(VVV),(HVV)}
Dos sucesos A y B, se llaman incompatibles cuando no tienen ningún elemento común. Es decir, cuando = Ø (A y B son disjuntos)
Decimos que un suceso se ha verificado, si al realizar el experimento aleatorio correspondiente, el resultado es uno de los sucesos elementales de dicho suceso. Por ejemplo, si al lanzar un dado sale 5, se ha verificado, entre otros, los sucesos {5}, {1,3,5} o E.
De manera análoga, decimos que:
El suceso se verifica cuando se verifica uno de los dos o ambos.
El suceso se verivica cuando se verifican simultáneamente A y B.
El suceso , contrario de A, se verifica cuando no se verifica A.
Dos sucesos incompatibles no se verifican simultáneamente.
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Ejemplo:
En el experimento E = "lanzar un dado al aire", consideramos los sucesos:
A = "sacar un número par". B = {1,2,3,5} = "obtener un 1, 2, 3 ó 5".
C = {4,6} = "obtener un 4 ó un 6". D = {2,4,6} = "obtener un 2, 4 ó 6".
F = {1,3} = "obtener un 1 ó un 3". G = "obtener un múltiplo de 3".
A y D son sucesos iguales al estar formados por los mismos sucesos elementales.
C está contenido en A. Luego = C, puesto que siempre que ocurre el suceso C (sacar 4 ó 6) ocurre el suceso A, puesto que se obtiene un número par.
B y C son incompatibles, ya que B C = Ø y complementarios, al cumplirse BC = E.
= "sacar un número par" {1,2,3,5} = {1,2,3,4,5,6} = E.
A G = {2,4,6} {3,6} = {6}, es decir, el suceso intersección de los sucesos "sacar un número par" y "obtener un múltiplo de tres" es "sacar un 6".
B-D = B = {1,2,3,5} {1,3,5} = {1,3,5} = "obtener un número impar" = .
C y F son incompatibles puesto que C F = Ø.
Axiomas de Probabilidad
Los axiomas de la probabilidad son enunciados muy simples a partir de los cuales se construye la teoria de la probabilidad.
1. Suma de Probabilidades igual a 1
2. Todos los posibles resultados estan entre cero y uno
3.- Para 2 eventos E1 y E2 con E1∩E2 = 0
P(E1UE2) = P(E1) + P(E2)
si E evento independiente
P(E') = 1 - P(E)
Regla de Adicion
Los eventos compuestos se generan al aumentar las operaciones basicas a los conjuntos de eventos individuales. Las uniones de eventos, las intersecciones de eventos y los complementos son de interes frecuente.
La probabilidad de un evento compuesto a menudo puede obtenerse a partir de las probabilidades de cada uno de los eventos que lo forman.
En ocasiones las operaciones basicas de los conjuntos tambien son utiles para determinar la probabilidad de un evento compuesto.
* A∩B = 0
* P(AUB) = P(A) + P(B)
* P(AUB) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
- 3 o mas eventos
* P(AUBUC)= P(A) + P(B) + P(C) - P(A∩B) - P(A∩C) P(B∩C) + P(A∩B∩C)
- Si los eventos son Excluyentes
* P(AUBUC) = P(A) + P(B) + P(C)
Regla de Multiplicacion
Se refieren a la determinación de la probabilidad de la ocurrencia conjunta de A y B.
Existen dos acepciones de esta regla:
1) Si los eventos de independientes: P(A y B ) = P( A ∩ B ) = P(A)P(B)
2) Si los eventos son dependientes:
Es la probabilidad de A multiplicada por la probabilidad condicional de B dado A.
*P(A y B) = P(A)P(BA)
Probabilidad Condicional
Muchos eventos se construyen en relacion a un proceso aleatorio y el calculo de su probabilidad depende de la ocurrencia de eventos pasados.
Con lo que lo podemos plantear con la siguiente formula.
P(AB) = P (A∩B) / P (B)
donde: P(AB) representa la Probabilidad del evento A dado el evento B.
Teorema de Bayes
El Teorema de Bayes, dentro de la teoría probabilística, proporciona la distribución de probabilidad condicional de un evento "A" dado otro evento "B" , en función de la distribución de probabilidad condicional del evento "B" dado "A" y de la distribución de probabilidad marginal del evento "A".
De tal manera, que se calcula con la siguiente formula :
donde:
P(Ai) son las probabilidades a priori.
P(B Ai) es la probabilidad de B en la hipótesis Ai.
P(Ai B) son las probabilidades a posteriori.
1.-La siguiente tabla presenta la historia de 940 obleas de un proceso de fabricacion de semiconductores. Supongase que se elija alazar una oblea. sea A el evento donde la oblea tiene alto nivel de contaminacion.
En el centro del
Instrumento de posicion
No Si
Contaminacion No 514 68
Alta Si 112 246
Sea:
A = { altos niveles contaminacion }
b = { la oblea esta en el centro del instrumento }
A) como interpreta (AUB) y (A∩B).
B) Calcular la probabilidad de cada evento.
- A)
P(AUB) = n(a) + n(b) - (A∩B) = 358 + 314 - 246 = 426
- B)
*P (AUB) = 426/940 = .45
*P (A∩B) = 246/940 = .26
*P(a) = 358/940 = .38
*P(b) = 314/940 = .33
2.- Al final de semestre, cual se va a graduar en ingenieria industrial. Despues de tener entrevistas en 2 compañias donde quiere trabajar, el evalua la probabilidad que tiene de ligrar una oferta de empleo en la compañia A=.8 y la prob. de tenerla en la compañia B=.6. si por otro lado sonsidera que la prob. de que reciba oferta de varias compañias es .5 . ¿Cual es la prob. de obtendra almenos una oferta de esas 2 compañias.
P(A) = .8
P(B) = .6
P(C) = .5
P(almenos1) = P(A∩) = .5
P(A∩B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) = .8 + .6 - .5 = .9
3.- Cual es la probabilidad de obtener un total de 7, 11 cuando se lanza un par de dados.
P(7) = S { (1,6) (2,5) (3,4) (4,3) (5,2) (6,1)
P(7) = 6/36 = 1/6
P(11) = S { (5,6) (6,5) }
P(11) = 2/36 = 1/18
4.- Si las prob. de que un individuo que compra un automovil de elegir el color verde, blanco, rojo o azul, son respectivamente : .9, .15, .21 y .23, ¿Cual es la prob. de que un comprador dado adquiera un automovil negro que tenga 1 de esos colores.
P(v) = .09
P(b) = .15
P(r) = .21
P(a) = .23
P(vUbUrUa) = P(v) + P(b) + P(r) + P(a) = .09 + .15 + .21 + .23 = .68
5.- Los residentes de una metropoli estan decidiendo si es conveniente una policia metropolitana. se toma una muestra de 150 residentes a los que se les pregunta si estan a favor o en contra de esta policia metropolitana, los resultados de la muestra se presentan en la sig. tabla.
Opiniones
Residentes Favor Contra
En la ciudad 80 40
En la suburbios 20 10
si se toma un residente alazar, cual es la prob. de que esta personona
a) este a favor = (100/150) = .66
b) este a favor y sea residente en ciudad = (80/120) = .66
c) este a favor y viva en los suburbios = (20/30)= .66
d) son los eventos a favor o en contra independientes ? = independientes pq las prob. son iguales
6.- Los resultados obtnidos de 266 muestras se clasifican de acuerdo con la presencia de 2moleculas raras. sea A el evento formado por todos las muestras en las que se encuentra presente la molecula rara 1 y B el evento formado por todas las muestras de aire donde esta presente la molecula 2 y sea la distribucion muestras en la sig. tabla
Molecula 1 presente
no si
Molecula 2 No 212 24
presente Si 18 12
1.- P(A) = 36/266 = .135
2.- P(AB) = 12/30 = .4
3.- P(B) = 30/266 = .112
4.- P(BA) = 12/36 = .33
7.- Se selecciona un alumno alazar de 200, se sabe que 140 son de tiempo completo (80 hombres y 60 mujeres) , 60 de tiempo parcial (40 mujeres y 20 hombres), si el evento A es el estudiante seleccionado es de tiempo completo y C es mujer, encuentre la prob. de que sea mujer y de tiempo completo.
Alumno Hombre Mujer
T. Completo 60 80
T. Parcial 20 40
- P(tiempo completo) = 140/200=.7
- P(mujer) = 120/200 = .6
- P (A∩B) = (80/120) (120/200) = (80/200) = .4
8.- Se lanza un dado negro y un dado blanco , encuentre la prob. de que la suma de los numeros sea 7 y que el numero del dado negro sea mas que el del dado blanco.
s = { (1, 6) (2,5) (3,4)
P(a) = 3/36 = .083
P(A∩B) = (3/15) (15/36) = 3/36 = .083
9.- La prob. de que una bateria de automovil sometida a alta temperatura dentro del compartimiento del motor reciba una corriente mayor que la normal es de .7, la prob. de que la pila este expuesta a alta temperatuea es .05 , sea A el evento donde la bateria experimenta una corriente de carga mayor a la normal y B donde la bateria esta expuesta a altas temperaturas, ¿Cual es la prob. de que la bateria experiemente una corriente alta y una temp. alta?
A {bateria sometida corriente mayor }
B { bateria expuesta alta temperatura }
P(a) = .7
P(b) = .05
P(A/B) = P(A∩B) / P(B) = (.7)(.05) / .05
P(A/B) = .035/.05
P(A/B) = .7
10.- P : { Cto integrado sujeto a niveles de contaminacion sea la causa de una falla de producto } = 0.10 (F/A)
P { Cto que no esta sujeta a altos niveles de contaminacion sea la causa de la falla } = .005 (F/A')
20% produccion esta sujeta a altos niveles de contaminacion
cual es la prob. de que un producto utilize alguno de estos circuitos falle ?
F { evento donde producto falla }
A { el cto esta expuesto a altos niveles de contaminacion }
-------
P(F) = (A∩F) + (A'∩F)
= P(F/A) P(A) + P (F/A') P(A')
= (.10) (.20) + (.005) (.80)
P(F) = .02 + .004
P(F) = .024
11.- El software para detectar fraude en las tarjetas telefonicas utilizadas por los usuarios registra todos los dias el numero de aras metropolitanas donde se origina todas las llamadas. Se tiene que el 1% de los ususarios legitimos hacen al dia llamadas que se originan en 2 o mas areas metropolitanas, sin embargo, el 30% de los usuarios fraudolentos hacen al dia llamadas desde 2 o mas areas metropolitanas.
La proporcion de usuarios fraudolentos es .01%
Sie el mismo usuario hace en 1 dia 2 o mas llamadas desde 1 o mas areas metropolitanas . ¿Cual es la prob. de que sea un usuario fraudulento ?
P(usuario fraudulento) = .0001
P(usuario legitimo) = 1- .0009 = .9999
P(B/A) = .01
P(B/A') = .3
P(A'/B) = P(B/A') P (A') / P (B)
= P (B/A') P(A')/ P(B/A) P (A) + P (B/A') P(A')
= (.3) (.0001) / (.01) (.0001) + (.3) (.9999)
= .00799
Ejercicio
Considere un experimento en el que cada 10 minutos se verifica el volumen de llenado de latas de refresco de una maquina llenadora automatica con la finalidad de determinar si las latas cumplen con las especificaciones de volumen de llenado. Continua la evaluación hasta encontrar una lata que no cumpla las especificaciones. ¿Encuentra el espacio muestral?
S= { n, sn, ssn, ... ∞ }
donde
n = No cumplen con especificaciones.
s = Cumplen con las especificaciones.
Diagrama de Arbol
Un diagrama de arbol es el dibujo que se usa para enumerar todos los resultados posibles de una serie de experimentos en donde cada experimento puede suceder en un numero infinito de maneras. Por ejemplo:
1.- Se lanza una moneda, si sale aguila se lanzara un dado, si sale sol se lanza la moneda de nuevo.
Donde :
S = { A1, A2, A3, A4, A5, A5, SA, SS}
R(s)= 8
2.- Un proceso de fabricacion se seleccionan 3 artefactos de forma aleatoria, cada articulo se inspecciona y se clasifica "D" defectuoso y "N" sin defecto, ¿Cual seria su espacio muestral?
Donde :
S = { DDD, DDN, DND, DNN, NDD, NDN, NND, NNN}
3.- Una Caja Contiene 3 pelotas, 1 Blanca, 1 Roja y 1 Azul, 2 de ellas se sacan reemplazandolas , ¿esto Implica ? :
¿Y si 2 de ellas se sacan sin reemplazo ?
1.-Se clasifican cada una de las tres partes para maquinadas ya sea por encima o por debajo de la especificada para cada una de ellas.
- E= por encima de las especificaciones.
- B= por de bajo de las especificaciones.
* S={EEE,EBE,EEB,EBB,BBB,BEE,BBE,BEB}
2.-En la inspeccion final de fuentes de alimentacion electrónicas, pueden presentarse tres tipos de problemas: funcionales, MENORES y estéticos. Las fuentes defectuosas se clasifican adicionalmente con uno de estos tipos de problemas.
- F' = Fuente de alimentacion electronica no defectuosa
- F = Fuente de alimentacion electronica defectuosa
- f = Probelmas funcionales
- m = Problemas menores
- e = Problemas esteticos
* S = {F´, Ff , Fm , Fe }
3.-en la fabricacion de una cinta de gradación digital, cada uno de las 24 pistas se clasifican de acuerdo con el numero de bits erróneos que contiene: ningún bit, o uno o mas bits erróneos.
- N = Ningun bit.
- U = uno o mas bits
* S={(1N,2N,3N,4N,5N,6N,7N,8N,9N,10N,11N,12N,13N,14N,15N,16N,17N,18N,19N,20N,21N, 22N,23N,24N,25N)(1U,2U,3U,4U,5U,6U,7U,8U,9U,10U,11U,12U,13U,14U,15U,16U,17U, 18U,19U,20U,21U,22U,23U,24U,25U) }
4.-Se utiliza una escala con dos decimales para medir, en toneladas, la cantidad de material que ingresa en una planta química.
*S={0.00,0.01,0.02,0.03,0.04,0.05,0.06,0.07,0.08,0.09,0.10,0.11,0.12,0.13,0.14,0.15,0.16,0.17, 0.18,0.19,0.20,0.21,0.22,0.23,0.24,0.25,0.26,0.27,0.28,0.29,0.30,0.31,0.32,0.33,0.34,0.35,0.36, 0.37,0.38,0.39,0.40,0.41,0.42,0.43,0.44,0.45,0.46,0.47,0.48,0.49,0.50,0.51,0.52,0.53,0.54,0.55, 0.56,0.57,0.58,0.59,0.60,0.61,0.62,0.63,0.64,0.65,0.66,0.67,0.68,0.69,0.70,0.71,0.72,0.73,0.74, 0.75,0.76,0.77,0.78,0.79,0.80,0.81,0.82,0.83,0.84,0.85,0.86,0.87,0.88,0.89,0.90,0.91,0.92,0.93, 0.94,0.95,0.96,0.97,0.98,0.99}
5.- Los poros de una varilla de fierro se clasifican como pequeños,medianos o grandes. El numero de poros de cada categoría se mide mediante la inspección visual de la muestra.
- P = Poros pequeños
- M = Poros medianos
- G= Poros grandes
* S= { P , M , G }
6.- La orden de pedido de un automovil puede especificar transmision automatica o estandar, con o sin aire acondicionado, y uno de cuatro colores: rojo, azul, negro o blanco. Describe el conjunto de todos los pedidos posibles para este experimento.
- A= transmicion automatica
- B= transmicion estandar
-C= con aire acondicionado
- S= sin aire acondicionado
- R=rojo
-A= azul
-N= negro
-B= blanco
* S={(ACR)(ACA)(ACN)(ACB)(ASR)(ASA)(ASN)(ASB)(BCR)(BCA)(BCN)(BCB)(BSR)(BSA)(BSN)(BSB) }
7.- La orden de compra de un sistema de computo puede especificar memoria de 4, 8 o 12 megabytes, y una capacidad en disco duro de 200,300 o 400 megabytes. Describe el conjunto de todas las posibles ordenes de compra.
-4= 4 megabytes memoria
-8= 8 megabytes memoria
-12= 12 megabytes memoria
-200= 200 megabytes disco duro
-300= 300 megabytes disco duro
-400= 400 megabytes disco duro
* S={(4,200)(4,300)(4,400)(8,200)(8,300)(8,400)(12,200)(12,300)(12,400)}
8.- En un dispositivo de almacenamiento magnetico, se hacen tres intentos para leer datos antes de invocar el procedimiento de recuperacion de error, el cual se encarga de volver a posicionar lacabeza de lectura /escritura. El procedimiento de recuperacion de erro intenta posicionar la cabeza tres veces antes de enviar un mensaje de ¨operacion abortada¨ al operador. Se define los siguientes eventos:
- s = exito en la operacion de lectura
- f = falla en la operacion d la lectura
- F = falla en el procedimiento de recuperacion de erro
- S = exito en el procedimiento de recuperacion de error
- A = mensaje de operacion abortada enviado al operador
Describa el espacio muestral de este experimento
* S={ (s)(fs)(ffs)(fffS)(fffFS)(fffFFS)(fffFFFA)}
9.- En una operacion de moldeo por inyeccion se evaluan varias caracteristicas de cada parte moldeada.
sean
- A: el evento donde una parte cumple con los requerimientos de ajuste del cliente
- B: el evento donde una parte satisface los requisitos de color del cliente
- C: el evento donde ciertas longitudes critica cumple con los requerimientos del cliente.
a.- construya un diagrama de venn que incluya estos eventos, e indique en el la region en la que una parte cumple con todos los requerimientos del cliente. Sombree las areas que representan los siguientes eventos.
(B∩C)
(AUB)
(A'UB)
Se selecciona una muestra de tres calculadoras de una linea de fabricacion y se clasifica cada calculadora como defectuosa o aceptables. sean A,B y C: eventos en los que, respectivamente, la primera, la segunda y tercera calculadora es defectuosa.
a.-Describa el espacio muestral de este experimento
* S={ (DDD)(DDA)(DAD)(DAA)(AAA)(ADD)(ADA)(AAD) Describa cada uno de los siguientes eventos b.-A {(DDD)(DDA)(DAA)(DAD)} c.-B {(DDD)(DDA)(ADD)(ADA)} d.-AΩB{(DDD)(DDA)} e.-BUC{(DDD)(DDA)(ADD)(ADA)(DAD)(AAD)}
FORMULAS UTILIZADAS EN EL BLOG:
*posibilidad de que ocurra algo
*suceso-acontecimiento
*pronostico
*adelantarse al acontecimiento
¿Existirá una sola interpretación de probabilidad?
1- Percepción distinta
2- 4/52= numero de aces = suposición = (todos los eventos tienen la misma
Numero de cartas oportunidad de se ciertos)
3- Frecuentista: función de los eventos que se están observando (midiendo)
P(x=2)= 1/6 si el dado no esta cargado
P(x=sol)=1/2 si la moneda no esta modificada
ALEATORIA: Al azar-Tin marin
Todos los elementos de una muestra tienen la misma oportunidad de ser seleccionados (muestreo aleatorio)
No existe "sesgo" o preferencia, como lo menciono el profesor.
¿Que es un conjunto?
EXPERIMENTO ALEATORIO
Por ejemplo lanzar una moneda.
Esta fue una de las definiciones que dimos en clase sobre EXPERIMENTO ALEATORIO:
Es aquel que proporciona diferentes resultados aun cuando se repita siempre de la misma manera.
ESPACIO MUESTRAL:
Conjunto de los posibles resultados de un experimento aleatorio y se denota por la letra s.
S= {S,A,SSA,A,S,S,SA}
EXPERIMENTO DE LANZAR UN DADO DOS VECES:
1 2 3 4 5 6
1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4 (4,5) (4,6)
5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
¿CUAL ES LA PROBABILIDAD DE QUE LA SUMA DE LOS DADOS SEA CINCO?
P(suma cinco)= 4/36= 1/9
P(mismo valor)= 1/6
considerese el experimento en el que cada 10 minutos se verifica el volumen de llenado de laras de refresco de una maquina llenadora automatica con la finalidad de determinar si las latas cumplen con las especificaciones de volumen de llenado.Continue la evaluacion hasta encontrar una lata que no cumple con las especificaciones.
ENCUENTRA EL ESPACIO MUESTRAL:
S={n,sn,ssn,sssn,...}
S= esta bien cumple con las especificaciones
N= no cumple con las especificaciones
1) En el diagrama que colocamos a continuación, se han volcado los datos obtenidos en una encuesta, realizada a personas, donde se les preguntó si tomaban té o café. Los números que aparecen se refieren a las cantidades de personas que respondieron a la pregunta en las diversas formas posibles: solamente té, té y café, ninguna de las dos bebidas, etc.
En base a estos datos responderemos a las siguientes preguntas:
¿Cuántas personas tomaban té? Rta. 6 personas.
¿Cuántas personas tomaban café? Rta. 9 personas.
¿Cuántas personas tomaban té y café? Rta. 4 personas.
¿Cuántas personas no tomaban ninguna de las dos bebidas? Rta. 1 persona.
¿Cuántas personas no tomaban té? Rta. 6 personas.
¿Cuántas personas no tomaban café? Rta. 3 personas.
¿Cuántas personas tomaban por lo menos una de esas dos bebidas? Rta. 11 personas.
¿Cuántas personas tomaban sólo una de esas dos bebidas? Rta. 7 personas.
¿Cuántas personas tomaban sólo café? Rta. 5 personas.
¿Cuántas personas tomaban alguna de esas bebidas? Rta. 11 personas.
. Experimentos aleatorios. Espacio muestral.
Experimentos o fenómenos aleatorios son los que pueden dar lugar a varios resultados, sin que pueda ser previsible enunciar con certeza cuál de éstos va a ser observado en la realización del experimento.
Si dejamos caer una piedra o la lanzamos, y conocemos las condiciones iniciales de altura, velocidad, etc., sabremos con seguridad dónde caerá, cuánto tiempo tardará, etc. Es una experiencia determinista. Si echamos un dado sobre una mesa, ignoramos qué cara quedará arriba. El resultado depende del azar. Es una experiencia aleatoria.
La vida cotidiana está plagada de sucesos aleatorios. Muchos de ellos, de tipo sociológico (viajes, accidentes, número de personas que acudirán a un gran almacén o que se matricularán en una carrera...) aunque son suma de muchas decisiones individuales, pueden ser estudiados, muy ventajosamente, como aleatorios.
Espacio muestral es el conjunto formado por todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. En adelante lo designaremos por E.
A la colección de resultados que se obtiene en los experimentos aleatorios se le llama espacio muestral.
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Ejemplos:
En un dado, E={1,2,3,4,5,6}
En una moneda, E={C,+}
Suceso aleatorio es un acontecimiento que ocurrirá o no, dependiendo del azar.
Ejercicio 1-1:
Describe el espacio muestral asociado a cada uno de los siguientes experimentos aleatorios:
Lanzar tres monedas.
Lanzar tres dados y anotar la suma de los puntos obtenidos.
Extracción de dos bolas de una urna que contiene cuatro bolas blancas y tres negras.
El tiempo, con relación a la lluvia, que hará durante tres días consecutivos.
Solución:
Llamando C a obtener cara y X a la obtención de cruz, obtenemos el siguiente espacio muestral:
E={(CCC),(CCX),(CXC),(XCC),(CXX),(XCX),(XXC),(XXX)}
E={3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18}
Llamando B a sacar bola blanca y N a sacar bola negra, tenemos:
E={BB,BN,NN}
Si llamamos L al día lluvioso y N al día sin lluvia, para tres días consecutivos se obtiene el siguiente espacio muestral:
E={(LLL),(LLN),(LNL),(NLL),(LNN),(NLN),(NNL),(NNN)}
2. Sucesos. Operaciones con sucesos.
2.1. Sucesos.
En el Ejercicio 1.1 del capítulo anterior podemos ver que el espacio muestral asociado al lanzamiento de tres dados y anotar la suma de los puntos obtenidos es:
E={3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18}
Podemos considerar algunos subconjuntos de E, por ejemplo:
Salir múltiplo de 5:
A={5,10,15}
Salir número primo:
C={2,3,5,7,11,13,17}
Salir mayor o igual que 12:
D={12,13,14,15,16,17,18}
Todos estos subconjuntos del espacio muestral E los llamamos sucesos. Suceso de un fenómeno o experimento aleatorio es cada uno de los subconjuntos del espacio muestral E.
Los elementos de E se llaman sucesos individuales o sucesos elementales.
También son sucesos el suceso vacío o suceso imposible , Ø, y el propio E, suceso seguro.
Al conjunto de todos los sucesos de una experiencia aleatoria lo llamaremos S.
Si E tiene un número finito, n, de elementos, el número de sucesos de E es 2n.
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Ejemplos:
{1,2},{2,4,6},{3,5} son sucesos. {1},{2}, {3}..., son sucesos individuales.
En un dado hay 26 = 64 sucesos.
En una moneda hay 22 = 4 sucesos, que son: Ø, {C},{+}, {C,+}
Es decir, S={Ø,{C},{+},{C,+}}
Ejercicio 2.1-1:
Se considera el sexo de los hijos de las familias de tres hijos. Sea A el suceso el hijo mayor es una hembra, y B el suceso los dos hijos pequeños son varones. ¿Cuáles son los elementos de A y B?
Solución:
Llamando V a ser varón y H a ser hembra, el espacio muestral está formado por los sucesos elementales:
E={(VVV),(VVH),(VHV),(HVV),(VHH),(HVH),(HHV),(HHH)}
Y los sucesos A y B son compuestos y están formados por los siguientes sucesos elementales:
A={(HHH),(HHV),(HVH),(HVV)}
B={(VVV),(HVV)}
Dos sucesos A y B, se llaman incompatibles cuando no tienen ningún elemento común. Es decir, cuando = Ø (A y B son disjuntos)
Decimos que un suceso se ha verificado, si al realizar el experimento aleatorio correspondiente, el resultado es uno de los sucesos elementales de dicho suceso. Por ejemplo, si al lanzar un dado sale 5, se ha verificado, entre otros, los sucesos {5}, {1,3,5} o E.
De manera análoga, decimos que:
El suceso se verifica cuando se verifica uno de los dos o ambos.
El suceso se verivica cuando se verifican simultáneamente A y B.
El suceso , contrario de A, se verifica cuando no se verifica A.
Dos sucesos incompatibles no se verifican simultáneamente.
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Ejemplo:
En el experimento E = "lanzar un dado al aire", consideramos los sucesos:
A = "sacar un número par". B = {1,2,3,5} = "obtener un 1, 2, 3 ó 5".
C = {4,6} = "obtener un 4 ó un 6". D = {2,4,6} = "obtener un 2, 4 ó 6".
F = {1,3} = "obtener un 1 ó un 3". G = "obtener un múltiplo de 3".
A y D son sucesos iguales al estar formados por los mismos sucesos elementales.
C está contenido en A. Luego = C, puesto que siempre que ocurre el suceso C (sacar 4 ó 6) ocurre el suceso A, puesto que se obtiene un número par.
B y C son incompatibles, ya que B C = Ø y complementarios, al cumplirse BC = E.
= "sacar un número par" {1,2,3,5} = {1,2,3,4,5,6} = E.
A G = {2,4,6} {3,6} = {6}, es decir, el suceso intersección de los sucesos "sacar un número par" y "obtener un múltiplo de tres" es "sacar un 6".
B-D = B = {1,2,3,5} {1,3,5} = {1,3,5} = "obtener un número impar" = .
C y F son incompatibles puesto que C F = Ø.
Axiomas de Probabilidad
Los axiomas de la probabilidad son enunciados muy simples a partir de los cuales se construye la teoria de la probabilidad.
1. Suma de Probabilidades igual a 1
2. Todos los posibles resultados estan entre cero y uno
3.- Para 2 eventos E1 y E2 con E1∩E2 = 0
P(E1UE2) = P(E1) + P(E2)
si E evento independiente
P(E') = 1 - P(E)
Regla de Adicion
Los eventos compuestos se generan al aumentar las operaciones basicas a los conjuntos de eventos individuales. Las uniones de eventos, las intersecciones de eventos y los complementos son de interes frecuente.
La probabilidad de un evento compuesto a menudo puede obtenerse a partir de las probabilidades de cada uno de los eventos que lo forman.
En ocasiones las operaciones basicas de los conjuntos tambien son utiles para determinar la probabilidad de un evento compuesto.
* A∩B = 0
* P(AUB) = P(A) + P(B)
* P(AUB) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
- 3 o mas eventos
* P(AUBUC)= P(A) + P(B) + P(C) - P(A∩B) - P(A∩C) P(B∩C) + P(A∩B∩C)
- Si los eventos son Excluyentes
* P(AUBUC) = P(A) + P(B) + P(C)
Regla de Multiplicacion
Se refieren a la determinación de la probabilidad de la ocurrencia conjunta de A y B.
Existen dos acepciones de esta regla:
1) Si los eventos de independientes: P(A y B ) = P( A ∩ B ) = P(A)P(B)
2) Si los eventos son dependientes:
Es la probabilidad de A multiplicada por la probabilidad condicional de B dado A.
*P(A y B) = P(A)P(BA)
Probabilidad Condicional
Muchos eventos se construyen en relacion a un proceso aleatorio y el calculo de su probabilidad depende de la ocurrencia de eventos pasados.
Con lo que lo podemos plantear con la siguiente formula.
P(AB) = P (A∩B) / P (B)
donde: P(AB) representa la Probabilidad del evento A dado el evento B.
Teorema de Bayes
El Teorema de Bayes, dentro de la teoría probabilística, proporciona la distribución de probabilidad condicional de un evento "A" dado otro evento "B" , en función de la distribución de probabilidad condicional del evento "B" dado "A" y de la distribución de probabilidad marginal del evento "A".
De tal manera, que se calcula con la siguiente formula :
donde:
P(Ai) son las probabilidades a priori.
P(B Ai) es la probabilidad de B en la hipótesis Ai.
P(Ai B) son las probabilidades a posteriori.
1.-La siguiente tabla presenta la historia de 940 obleas de un proceso de fabricacion de semiconductores. Supongase que se elija alazar una oblea. sea A el evento donde la oblea tiene alto nivel de contaminacion.
En el centro del
Instrumento de posicion
No Si
Contaminacion No 514 68
Alta Si 112 246
Sea:
A = { altos niveles contaminacion }
b = { la oblea esta en el centro del instrumento }
A) como interpreta (AUB) y (A∩B).
B) Calcular la probabilidad de cada evento.
- A)
P(AUB) = n(a) + n(b) - (A∩B) = 358 + 314 - 246 = 426
- B)
*P (AUB) = 426/940 = .45
*P (A∩B) = 246/940 = .26
*P(a) = 358/940 = .38
*P(b) = 314/940 = .33
2.- Al final de semestre, cual se va a graduar en ingenieria industrial. Despues de tener entrevistas en 2 compañias donde quiere trabajar, el evalua la probabilidad que tiene de ligrar una oferta de empleo en la compañia A=.8 y la prob. de tenerla en la compañia B=.6. si por otro lado sonsidera que la prob. de que reciba oferta de varias compañias es .5 . ¿Cual es la prob. de obtendra almenos una oferta de esas 2 compañias.
P(A) = .8
P(B) = .6
P(C) = .5
P(almenos1) = P(A∩) = .5
P(A∩B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) = .8 + .6 - .5 = .9
3.- Cual es la probabilidad de obtener un total de 7, 11 cuando se lanza un par de dados.
P(7) = S { (1,6) (2,5) (3,4) (4,3) (5,2) (6,1)
P(7) = 6/36 = 1/6
P(11) = S { (5,6) (6,5) }
P(11) = 2/36 = 1/18
4.- Si las prob. de que un individuo que compra un automovil de elegir el color verde, blanco, rojo o azul, son respectivamente : .9, .15, .21 y .23, ¿Cual es la prob. de que un comprador dado adquiera un automovil negro que tenga 1 de esos colores.
P(v) = .09
P(b) = .15
P(r) = .21
P(a) = .23
P(vUbUrUa) = P(v) + P(b) + P(r) + P(a) = .09 + .15 + .21 + .23 = .68
5.- Los residentes de una metropoli estan decidiendo si es conveniente una policia metropolitana. se toma una muestra de 150 residentes a los que se les pregunta si estan a favor o en contra de esta policia metropolitana, los resultados de la muestra se presentan en la sig. tabla.
Opiniones
Residentes Favor Contra
En la ciudad 80 40
En la suburbios 20 10
si se toma un residente alazar, cual es la prob. de que esta personona
a) este a favor = (100/150) = .66
b) este a favor y sea residente en ciudad = (80/120) = .66
c) este a favor y viva en los suburbios = (20/30)= .66
d) son los eventos a favor o en contra independientes ? = independientes pq las prob. son iguales
6.- Los resultados obtnidos de 266 muestras se clasifican de acuerdo con la presencia de 2moleculas raras. sea A el evento formado por todos las muestras en las que se encuentra presente la molecula rara 1 y B el evento formado por todas las muestras de aire donde esta presente la molecula 2 y sea la distribucion muestras en la sig. tabla
Molecula 1 presente
no si
Molecula 2 No 212 24
presente Si 18 12
1.- P(A) = 36/266 = .135
2.- P(AB) = 12/30 = .4
3.- P(B) = 30/266 = .112
4.- P(BA) = 12/36 = .33
7.- Se selecciona un alumno alazar de 200, se sabe que 140 son de tiempo completo (80 hombres y 60 mujeres) , 60 de tiempo parcial (40 mujeres y 20 hombres), si el evento A es el estudiante seleccionado es de tiempo completo y C es mujer, encuentre la prob. de que sea mujer y de tiempo completo.
Alumno Hombre Mujer
T. Completo 60 80
T. Parcial 20 40
- P(tiempo completo) = 140/200=.7
- P(mujer) = 120/200 = .6
- P (A∩B) = (80/120) (120/200) = (80/200) = .4
8.- Se lanza un dado negro y un dado blanco , encuentre la prob. de que la suma de los numeros sea 7 y que el numero del dado negro sea mas que el del dado blanco.
s = { (1, 6) (2,5) (3,4)
P(a) = 3/36 = .083
P(A∩B) = (3/15) (15/36) = 3/36 = .083
9.- La prob. de que una bateria de automovil sometida a alta temperatura dentro del compartimiento del motor reciba una corriente mayor que la normal es de .7, la prob. de que la pila este expuesta a alta temperatuea es .05 , sea A el evento donde la bateria experimenta una corriente de carga mayor a la normal y B donde la bateria esta expuesta a altas temperaturas, ¿Cual es la prob. de que la bateria experiemente una corriente alta y una temp. alta?
A {bateria sometida corriente mayor }
B { bateria expuesta alta temperatura }
P(a) = .7
P(b) = .05
P(A/B) = P(A∩B) / P(B) = (.7)(.05) / .05
P(A/B) = .035/.05
P(A/B) = .7
10.- P : { Cto integrado sujeto a niveles de contaminacion sea la causa de una falla de producto } = 0.10 (F/A)
P { Cto que no esta sujeta a altos niveles de contaminacion sea la causa de la falla } = .005 (F/A')
20% produccion esta sujeta a altos niveles de contaminacion
cual es la prob. de que un producto utilize alguno de estos circuitos falle ?
F { evento donde producto falla }
A { el cto esta expuesto a altos niveles de contaminacion }
-------
P(F) = (A∩F) + (A'∩F)
= P(F/A) P(A) + P (F/A') P(A')
= (.10) (.20) + (.005) (.80)
P(F) = .02 + .004
P(F) = .024
11.- El software para detectar fraude en las tarjetas telefonicas utilizadas por los usuarios registra todos los dias el numero de aras metropolitanas donde se origina todas las llamadas. Se tiene que el 1% de los ususarios legitimos hacen al dia llamadas que se originan en 2 o mas areas metropolitanas, sin embargo, el 30% de los usuarios fraudolentos hacen al dia llamadas desde 2 o mas areas metropolitanas.
La proporcion de usuarios fraudolentos es .01%
Sie el mismo usuario hace en 1 dia 2 o mas llamadas desde 1 o mas areas metropolitanas . ¿Cual es la prob. de que sea un usuario fraudulento ?
P(usuario fraudulento) = .0001
P(usuario legitimo) = 1- .0009 = .9999
P(B/A) = .01
P(B/A') = .3
P(A'/B) = P(B/A') P (A') / P (B)
= P (B/A') P(A')/ P(B/A) P (A) + P (B/A') P(A')
= (.3) (.0001) / (.01) (.0001) + (.3) (.9999)
= .00799
Ejercicio
Considere un experimento en el que cada 10 minutos se verifica el volumen de llenado de latas de refresco de una maquina llenadora automatica con la finalidad de determinar si las latas cumplen con las especificaciones de volumen de llenado. Continua la evaluación hasta encontrar una lata que no cumpla las especificaciones. ¿Encuentra el espacio muestral?
S= { n, sn, ssn, ... ∞ }
donde
n = No cumplen con especificaciones.
s = Cumplen con las especificaciones.
Diagrama de Arbol
Un diagrama de arbol es el dibujo que se usa para enumerar todos los resultados posibles de una serie de experimentos en donde cada experimento puede suceder en un numero infinito de maneras. Por ejemplo:
1.- Se lanza una moneda, si sale aguila se lanzara un dado, si sale sol se lanza la moneda de nuevo.
Donde :
S = { A1, A2, A3, A4, A5, A5, SA, SS}
R(s)= 8
2.- Un proceso de fabricacion se seleccionan 3 artefactos de forma aleatoria, cada articulo se inspecciona y se clasifica "D" defectuoso y "N" sin defecto, ¿Cual seria su espacio muestral?
Donde :
S = { DDD, DDN, DND, DNN, NDD, NDN, NND, NNN}
3.- Una Caja Contiene 3 pelotas, 1 Blanca, 1 Roja y 1 Azul, 2 de ellas se sacan reemplazandolas , ¿esto Implica ? :
¿Y si 2 de ellas se sacan sin reemplazo ?
1.-Se clasifican cada una de las tres partes para maquinadas ya sea por encima o por debajo de la especificada para cada una de ellas.
- E= por encima de las especificaciones.
- B= por de bajo de las especificaciones.
* S={EEE,EBE,EEB,EBB,BBB,BEE,BBE,BEB}
2.-En la inspeccion final de fuentes de alimentacion electrónicas, pueden presentarse tres tipos de problemas: funcionales, MENORES y estéticos. Las fuentes defectuosas se clasifican adicionalmente con uno de estos tipos de problemas.
- F' = Fuente de alimentacion electronica no defectuosa
- F = Fuente de alimentacion electronica defectuosa
- f = Probelmas funcionales
- m = Problemas menores
- e = Problemas esteticos
* S = {F´, Ff , Fm , Fe }
3.-en la fabricacion de una cinta de gradación digital, cada uno de las 24 pistas se clasifican de acuerdo con el numero de bits erróneos que contiene: ningún bit, o uno o mas bits erróneos.
- N = Ningun bit.
- U = uno o mas bits
* S={(1N,2N,3N,4N,5N,6N,7N,8N,9N,10N,11N,12N,13N,14N,15N,16N,17N,18N,19N,20N,21N, 22N,23N,24N,25N)(1U,2U,3U,4U,5U,6U,7U,8U,9U,10U,11U,12U,13U,14U,15U,16U,17U, 18U,19U,20U,21U,22U,23U,24U,25U) }
4.-Se utiliza una escala con dos decimales para medir, en toneladas, la cantidad de material que ingresa en una planta química.
*S={0.00,0.01,0.02,0.03,0.04,0.05,0.06,0.07,0.08,0.09,0.10,0.11,0.12,0.13,0.14,0.15,0.16,0.17, 0.18,0.19,0.20,0.21,0.22,0.23,0.24,0.25,0.26,0.27,0.28,0.29,0.30,0.31,0.32,0.33,0.34,0.35,0.36, 0.37,0.38,0.39,0.40,0.41,0.42,0.43,0.44,0.45,0.46,0.47,0.48,0.49,0.50,0.51,0.52,0.53,0.54,0.55, 0.56,0.57,0.58,0.59,0.60,0.61,0.62,0.63,0.64,0.65,0.66,0.67,0.68,0.69,0.70,0.71,0.72,0.73,0.74, 0.75,0.76,0.77,0.78,0.79,0.80,0.81,0.82,0.83,0.84,0.85,0.86,0.87,0.88,0.89,0.90,0.91,0.92,0.93, 0.94,0.95,0.96,0.97,0.98,0.99}
5.- Los poros de una varilla de fierro se clasifican como pequeños,medianos o grandes. El numero de poros de cada categoría se mide mediante la inspección visual de la muestra.
- P = Poros pequeños
- M = Poros medianos
- G= Poros grandes
* S= { P , M , G }
6.- La orden de pedido de un automovil puede especificar transmision automatica o estandar, con o sin aire acondicionado, y uno de cuatro colores: rojo, azul, negro o blanco. Describe el conjunto de todos los pedidos posibles para este experimento.
- A= transmicion automatica
- B= transmicion estandar
-C= con aire acondicionado
- S= sin aire acondicionado
- R=rojo
-A= azul
-N= negro
-B= blanco
* S={(ACR)(ACA)(ACN)(ACB)(ASR)(ASA)(ASN)(ASB)(BCR)(BCA)(BCN)(BCB)(BSR)(BSA)(BSN)(BSB) }
7.- La orden de compra de un sistema de computo puede especificar memoria de 4, 8 o 12 megabytes, y una capacidad en disco duro de 200,300 o 400 megabytes. Describe el conjunto de todas las posibles ordenes de compra.
-4= 4 megabytes memoria
-8= 8 megabytes memoria
-12= 12 megabytes memoria
-200= 200 megabytes disco duro
-300= 300 megabytes disco duro
-400= 400 megabytes disco duro
* S={(4,200)(4,300)(4,400)(8,200)(8,300)(8,400)(12,200)(12,300)(12,400)}
8.- En un dispositivo de almacenamiento magnetico, se hacen tres intentos para leer datos antes de invocar el procedimiento de recuperacion de error, el cual se encarga de volver a posicionar lacabeza de lectura /escritura. El procedimiento de recuperacion de erro intenta posicionar la cabeza tres veces antes de enviar un mensaje de ¨operacion abortada¨ al operador. Se define los siguientes eventos:
- s = exito en la operacion de lectura
- f = falla en la operacion d la lectura
- F = falla en el procedimiento de recuperacion de erro
- S = exito en el procedimiento de recuperacion de error
- A = mensaje de operacion abortada enviado al operador
Describa el espacio muestral de este experimento
* S={ (s)(fs)(ffs)(fffS)(fffFS)(fffFFS)(fffFFFA)}
9.- En una operacion de moldeo por inyeccion se evaluan varias caracteristicas de cada parte moldeada.
sean
- A: el evento donde una parte cumple con los requerimientos de ajuste del cliente
- B: el evento donde una parte satisface los requisitos de color del cliente
- C: el evento donde ciertas longitudes critica cumple con los requerimientos del cliente.
a.- construya un diagrama de venn que incluya estos eventos, e indique en el la region en la que una parte cumple con todos los requerimientos del cliente. Sombree las areas que representan los siguientes eventos.
(B∩C)
(AUB)
(A'UB)
Se selecciona una muestra de tres calculadoras de una linea de fabricacion y se clasifica cada calculadora como defectuosa o aceptables. sean A,B y C: eventos en los que, respectivamente, la primera, la segunda y tercera calculadora es defectuosa.
a.-Describa el espacio muestral de este experimento
* S={ (DDD)(DDA)(DAD)(DAA)(AAA)(ADD)(ADA)(AAD) Describa cada uno de los siguientes eventos b.-A {(DDD)(DDA)(DAA)(DAD)} c.-B {(DDD)(DDA)(ADD)(ADA)} d.-AΩB{(DDD)(DDA)} e.-BUC{(DDD)(DDA)(ADD)(ADA)(DAD)(AAD)}
FORMULAS UTILIZADAS EN EL BLOG:
viernes, 10 de octubre de 2008
jueves, 9 de octubre de 2008
martes, 7 de octubre de 2008
medidas de tendencia central
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Medidas de tendencia central
Medidas de Tendencia Central Al describir grupos de observaciones, con frecuencia se desea describir el grupo con un solo número. Para tal fin, desde luego, no se usará el valor más elevado ni el valor más pequeño como único representante, ya que solo representan los extremos más bien que valores típicos. Entonces sería más adecuado buscar un valor central. Las medidas que describen un valor típico en un grupo de observaciones suelen llamarse medidas de tendencia central. Es importante tener en cuenta que estas medidas se aplican a grupos más bien que a individuos. Un promedio es una característica de grupo, no individual.
Entre las medidas de tendencia central tenemos:
La Media Aritmética
La medida de tendencia central más obvia que se puede elegir, es el valor obtenido sumando las observaciones y dividiendo esta suma por el número de observaciones que hay en el grupo. La media resume en un valor las características de una variable teniendo en cuenta a todos los casos. Solamente puede utilizarse con variables cuantitativas.
Ejemplo:
Notas de 5 alumnos en una prueba:
Alumno Nota
1 •entonces se suman las Notas:
2 6.0+5.4+3.1+7.0+6.1=27.6
3 •Luego el total se divide por la cantidad de alumnos:
4 27.6/5=5.52
5 •LA MEDIA ARITMÉTICA EN ESTE PROBLEMA SERIA 5.52
La Media Aritmética
La medida de tendencia central mas ampliamente usada es la media aritmética, usualmente abreviada como media.
La media aritmética de un conjunto de n valores es el resultado de la suma de todos ellos dividido entre n.
Propiedades de la media aritmética
1. Puede ser calculada en distribuciones con escala relativa e intervalar.
2. Todos los valores son incluidos en el cómputo de la media.
3. Una serie de datos solo tiene una media.
4. Es una medida muy útil para comparar dos o más poblaciones.
5. Es la única medida de tendencia central donde la suma de las desviaciones de cada valor respecto a la media es igual a cero. Por lo tanto podemos considerar a la media como el punto de balance de una serie de datos.
Desventajas de la media aritmética
1. Si alguno de los valores es extremadamente grande o extremadamente pequeño, la media no es el promedio apropiado para representar la serie de datos.
2. No se puede determinar si en una distribución de frecuencias hay intervalos de clase abiertos.
Media muestral
Si se tiene una muestra estadística de valores (X1,X2,...,Xn) de valores para una variable aleatoria X con distribución de probabilidad F(x,?) [donde ? es un conjunto de parámetros de la distribución] se define la media muestral n-ésima.
Es necesario tener agrupados los datos en forma ascendente o descendente, es decir, que se tenga como primer dato el máximo o el mínimo antes de calcular la media muestral.
Distintas formas de escribir la fórmula [editar]
=== Une médiane === une Autre mesure de tendance centrale qui est utilisée par beaucoup de fréquence est la médiane, qui est la valeur située dans le milieu dans l'ensemble d'observations ordonnées par grandeur. qui se trouve dans une relation avec les autres comme elle moins utilisée de toutes.
Moda [editar]
Es el dato que más se repite en la cuenta. Si existen dos datos que se repite un numero igual de veces entonces el conjunto será bimodal. Ejemplo:
Numero de personas en distintos carros en una carretera :
5-7-4-6-9-5-6-1-5-3-7
en este caso el numero que más se repite es 5 entonces la moda en este caso es 5.
Promedio Geométrico [editar]
La media geométrica de un conjunto de observaciones es la raíz en ésima de su producto. El cálculo de la media geométrica exige que todas las observaciones sean positivas.
Percentiles [editar]
Los percentiles representan los valores de la variable que están por debajo de un porcentaje, el cual puede ser un valor de 1% a 100% (en otras palabras, el total de los datos es divido en 100 partes iguales).
Observación [editar]
A veces puede ser útil otorgar pesos o valores a los datos dependiendo de su relevancia para determinado estudio. En esos casos se puede utilizar una media ponderada.
Si x1,x2,...,xn son nuestros datos y w1,w2,...,wn son sus ‘pesos’ respectivos la media ponderada se define de la siguiente forma:
La media es invariante frente a transformaciones lineales (cambio de origen y escala) de las variables, es decir si x es una variable estadística y Imagen:JaimeMedia5.JPG, es otra variable estadística que depende linealmente de x , entonces Imagen:JaimeMedia6.JPG. ( a representa la magnitud del cambio de escala y b la del cambio de origen).
== Propiedades de la Media o Promedio La media o Promedio tienen las siguientes propiedades
Se puede Sumar, Restar y multiplicar de la siguiente forma
Si tenemos :
1 - 2 - 3 - 4
entonces veremos lo siguiente :
Suma : Si sumamos una constante a cada variable veremos lo siguiente.
Datos : 1 - 2 - 3 - 4 Media : Sumatoria de datos / Numero de datos => 10 / 4 => 2.5
Si
Datos : 1 - 2 - 3 - 4 + Constante : 1 Datos : [(1+1) + (2+1) + (3+1) + (4+1)] /4 => 14/4 => 3.5
Entonces Vemos: que si aumentamos una constante a cada dato también deberemos de aumentarla al resultado. De la misma forma se muestra para la resta y multiplicación.
Moda
En estadística la moda es el valor que cuenta con una mayor frecuencia en una distribución de datos.
Hablaremos de una distribución bimodal de los datos, cuando encontremos dos modas, es decir, dos datos que tengan la misma frecuencia absoluta máxima.
Cuando en una distribución de datos se encuentran tres o más modas, entonces es multimodal.
Si todas las variables tienen la misma frecuencia diremos que no hay moda.
Cuando tratamos con datos agrupados antes de definir la moda, se ha de definir el intervalo modal. El intervalo modal es el de mayor frecuencia absoluta.
La moda, cuando los datos están agrupados, es un punto que divide al intervalo modal en dos partes de la forma p y c-p, siendo c la amplitud del intervalo, que verifiquen que:
Siendo ni la frecuencia absoluta del intervalo modal y ni − 1 y ni + 1 las frecuencias absolutas de los intervalos anterior y posterior, respectivamente, al intervalo modal.
Ahora vamos a ver un problema de ejemplo, solucionado con el programa de cálculo SCI-LAB.
Las calificaciones en la asignatura de Matemáticas de 38 alumnos de una clase viene dada por la siguiente tabla (debajo):
Vemos que el valor más repetido de calificaciones de alumnos es la nota 6, con un total de 9 alumnos.
Abrimos SCI-LAB; Creamos un vector x; que contendrá el total de notas sacadas por los alumnos;
-->x={1 1 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 6 6 6 7 7 7 7 8 8 8 8 9 9}
x =
column 1 to 13
1. 1. 2. 2. 3. 3. 3. 3. 4. 4. 4. 4. 5.
column 14 to 26
5. 5. 5. 5. 5. 6. 6. 6. 6. 6. 6. 6. 6.
column 27 to 37
6. 7. 7. 7. 7. 8. 8. 8. 8. 9. 9.
Ahorá definimos un vector 'y', como las fracuencias absolutas de el vector 'x', mediante la función 'tabul(x)':
-->y=tabul(x)
y =
9. 2.
8. 4.
7. 4.
6. 9.
5. 6.
4. 4.
3. 4.
2. 2.
1. 2.
-->
Vemos que ahora tenemos en el vector 'y', en la primera columna las calificaciones, y en la segunda columna las freuencias absolutas de éstas. Ahora mediante la función 'max', sacaremos la frecuencia absoluta más alta.
-->[m,i]=max(y(:,2))
i =
4. //'i' nos indica el número de fila.
m =
9. //'m' nos indica la frecuencia absoluta más elevada.
-->
Ya sólo queda introducir el valor de 'i' en la matriz de frecuencias absolutas, eso sí, escogiendo la primera columna, que es la que nos interesa, la de las calificaciones:
-->moda=y(4,1) // el resultado es el elemento contenido en la fila 'i' y la columna 1(calificaciones).
moda =
6.
--> 6 pues, es la moda en cuanto a numero de alumnos que han conseguido esa calificación.
Ejemplo:
En la distribución:
5, 8, 9, 4, 5, 5, 8, 1, 2
La moda es 5, pues es el valor que cuenta con la mayor frecuencia: Aparece 3 veces.
Una distribución puede tener más de una moda si dos o más datos, o clases de datos, tienen la misma frecuencia y esta es la más alta de la distribución.
Moda de datos agrupados:
Para calcular la moda de los valores pertenecientes a una clase se cuenta con la siguiente fórmula.
En donde f es la frecuencia del intervalo y x su marca de clase o punto medio.
Mediana
Definiremos como mediana al valor de la variable que deja el mismo número de datos antes y después que él.
De acuerdo con esta definición el conjunto de datos menores o iguales que la mediana representarán el 50% de los datos, y los que sean mayores que la mediana representarán el otro 50% del total de datos de la muestra.
Matemáticamente hablando la mediana sería: Me = , si n es impar --> Me será la observación central de los valores, una vez que estos han sido ordenados en orden creciente o decreciente.
Me = , si n es par --> Me será el promedio aritmético de las dos observaciones centrales.
n es impar
n es par
Observaciones:
• La mediana de un conjunto de datos es única.
• El valor de la mediana no es sensible a la presencia de datos extremos.
Uso de la mediana
Al tratar con datos agrupados, tendremos en cuenta que si n/2 coincide con el valor de una frecuencia acumulada, tomaremos como valor de la mediana el valor de la abscisa correspondiente. Si no coincide con el valor de ninguna abscisa, tendremos que calcular esa abscisa a través de semejanza de triángulos en el histograma o polígono de frecuencias acumuladas, utilizando la siguiente equivalencia:
Medidas de tendencia central
Medidas de Tendencia Central Al describir grupos de observaciones, con frecuencia se desea describir el grupo con un solo número. Para tal fin, desde luego, no se usará el valor más elevado ni el valor más pequeño como único representante, ya que solo representan los extremos más bien que valores típicos. Entonces sería más adecuado buscar un valor central. Las medidas que describen un valor típico en un grupo de observaciones suelen llamarse medidas de tendencia central. Es importante tener en cuenta que estas medidas se aplican a grupos más bien que a individuos. Un promedio es una característica de grupo, no individual.
Entre las medidas de tendencia central tenemos:
La Media Aritmética
La medida de tendencia central más obvia que se puede elegir, es el valor obtenido sumando las observaciones y dividiendo esta suma por el número de observaciones que hay en el grupo. La media resume en un valor las características de una variable teniendo en cuenta a todos los casos. Solamente puede utilizarse con variables cuantitativas.
Ejemplo:
Notas de 5 alumnos en una prueba:
Alumno Nota
1 •entonces se suman las Notas:
2 6.0+5.4+3.1+7.0+6.1=27.6
3 •Luego el total se divide por la cantidad de alumnos:
4 27.6/5=5.52
5 •LA MEDIA ARITMÉTICA EN ESTE PROBLEMA SERIA 5.52
La Media Aritmética
La medida de tendencia central mas ampliamente usada es la media aritmética, usualmente abreviada como media.
La media aritmética de un conjunto de n valores es el resultado de la suma de todos ellos dividido entre n.
Propiedades de la media aritmética
1. Puede ser calculada en distribuciones con escala relativa e intervalar.
2. Todos los valores son incluidos en el cómputo de la media.
3. Una serie de datos solo tiene una media.
4. Es una medida muy útil para comparar dos o más poblaciones.
5. Es la única medida de tendencia central donde la suma de las desviaciones de cada valor respecto a la media es igual a cero. Por lo tanto podemos considerar a la media como el punto de balance de una serie de datos.
Desventajas de la media aritmética
1. Si alguno de los valores es extremadamente grande o extremadamente pequeño, la media no es el promedio apropiado para representar la serie de datos.
2. No se puede determinar si en una distribución de frecuencias hay intervalos de clase abiertos.
Media muestral
Si se tiene una muestra estadística de valores (X1,X2,...,Xn) de valores para una variable aleatoria X con distribución de probabilidad F(x,?) [donde ? es un conjunto de parámetros de la distribución] se define la media muestral n-ésima.
Es necesario tener agrupados los datos en forma ascendente o descendente, es decir, que se tenga como primer dato el máximo o el mínimo antes de calcular la media muestral.
Distintas formas de escribir la fórmula [editar]
=== Une médiane === une Autre mesure de tendance centrale qui est utilisée par beaucoup de fréquence est la médiane, qui est la valeur située dans le milieu dans l'ensemble d'observations ordonnées par grandeur. qui se trouve dans une relation avec les autres comme elle moins utilisée de toutes.
Moda [editar]
Es el dato que más se repite en la cuenta. Si existen dos datos que se repite un numero igual de veces entonces el conjunto será bimodal. Ejemplo:
Numero de personas en distintos carros en una carretera :
5-7-4-6-9-5-6-1-5-3-7
en este caso el numero que más se repite es 5 entonces la moda en este caso es 5.
Promedio Geométrico [editar]
La media geométrica de un conjunto de observaciones es la raíz en ésima de su producto. El cálculo de la media geométrica exige que todas las observaciones sean positivas.
Percentiles [editar]
Los percentiles representan los valores de la variable que están por debajo de un porcentaje, el cual puede ser un valor de 1% a 100% (en otras palabras, el total de los datos es divido en 100 partes iguales).
Observación [editar]
A veces puede ser útil otorgar pesos o valores a los datos dependiendo de su relevancia para determinado estudio. En esos casos se puede utilizar una media ponderada.
Si x1,x2,...,xn son nuestros datos y w1,w2,...,wn son sus ‘pesos’ respectivos la media ponderada se define de la siguiente forma:
La media es invariante frente a transformaciones lineales (cambio de origen y escala) de las variables, es decir si x es una variable estadística y Imagen:JaimeMedia5.JPG, es otra variable estadística que depende linealmente de x , entonces Imagen:JaimeMedia6.JPG. ( a representa la magnitud del cambio de escala y b la del cambio de origen).
== Propiedades de la Media o Promedio La media o Promedio tienen las siguientes propiedades
Se puede Sumar, Restar y multiplicar de la siguiente forma
Si tenemos :
1 - 2 - 3 - 4
entonces veremos lo siguiente :
Suma : Si sumamos una constante a cada variable veremos lo siguiente.
Datos : 1 - 2 - 3 - 4 Media : Sumatoria de datos / Numero de datos => 10 / 4 => 2.5
Si
Datos : 1 - 2 - 3 - 4 + Constante : 1 Datos : [(1+1) + (2+1) + (3+1) + (4+1)] /4 => 14/4 => 3.5
Entonces Vemos: que si aumentamos una constante a cada dato también deberemos de aumentarla al resultado. De la misma forma se muestra para la resta y multiplicación.
Moda
En estadística la moda es el valor que cuenta con una mayor frecuencia en una distribución de datos.
Hablaremos de una distribución bimodal de los datos, cuando encontremos dos modas, es decir, dos datos que tengan la misma frecuencia absoluta máxima.
Cuando en una distribución de datos se encuentran tres o más modas, entonces es multimodal.
Si todas las variables tienen la misma frecuencia diremos que no hay moda.
Cuando tratamos con datos agrupados antes de definir la moda, se ha de definir el intervalo modal. El intervalo modal es el de mayor frecuencia absoluta.
La moda, cuando los datos están agrupados, es un punto que divide al intervalo modal en dos partes de la forma p y c-p, siendo c la amplitud del intervalo, que verifiquen que:
Siendo ni la frecuencia absoluta del intervalo modal y ni − 1 y ni + 1 las frecuencias absolutas de los intervalos anterior y posterior, respectivamente, al intervalo modal.
Ahora vamos a ver un problema de ejemplo, solucionado con el programa de cálculo SCI-LAB.
Las calificaciones en la asignatura de Matemáticas de 38 alumnos de una clase viene dada por la siguiente tabla (debajo):
Vemos que el valor más repetido de calificaciones de alumnos es la nota 6, con un total de 9 alumnos.
Abrimos SCI-LAB; Creamos un vector x; que contendrá el total de notas sacadas por los alumnos;
-->x={1 1 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 6 6 6 7 7 7 7 8 8 8 8 9 9}
x =
column 1 to 13
1. 1. 2. 2. 3. 3. 3. 3. 4. 4. 4. 4. 5.
column 14 to 26
5. 5. 5. 5. 5. 6. 6. 6. 6. 6. 6. 6. 6.
column 27 to 37
6. 7. 7. 7. 7. 8. 8. 8. 8. 9. 9.
Ahorá definimos un vector 'y', como las fracuencias absolutas de el vector 'x', mediante la función 'tabul(x)':
-->y=tabul(x)
y =
9. 2.
8. 4.
7. 4.
6. 9.
5. 6.
4. 4.
3. 4.
2. 2.
1. 2.
-->
Vemos que ahora tenemos en el vector 'y', en la primera columna las calificaciones, y en la segunda columna las freuencias absolutas de éstas. Ahora mediante la función 'max', sacaremos la frecuencia absoluta más alta.
-->[m,i]=max(y(:,2))
i =
4. //'i' nos indica el número de fila.
m =
9. //'m' nos indica la frecuencia absoluta más elevada.
-->
Ya sólo queda introducir el valor de 'i' en la matriz de frecuencias absolutas, eso sí, escogiendo la primera columna, que es la que nos interesa, la de las calificaciones:
-->moda=y(4,1) // el resultado es el elemento contenido en la fila 'i' y la columna 1(calificaciones).
moda =
6.
--> 6 pues, es la moda en cuanto a numero de alumnos que han conseguido esa calificación.
Ejemplo:
En la distribución:
5, 8, 9, 4, 5, 5, 8, 1, 2
La moda es 5, pues es el valor que cuenta con la mayor frecuencia: Aparece 3 veces.
Una distribución puede tener más de una moda si dos o más datos, o clases de datos, tienen la misma frecuencia y esta es la más alta de la distribución.
Moda de datos agrupados:
Para calcular la moda de los valores pertenecientes a una clase se cuenta con la siguiente fórmula.
En donde f es la frecuencia del intervalo y x su marca de clase o punto medio.
Mediana
Definiremos como mediana al valor de la variable que deja el mismo número de datos antes y después que él.
De acuerdo con esta definición el conjunto de datos menores o iguales que la mediana representarán el 50% de los datos, y los que sean mayores que la mediana representarán el otro 50% del total de datos de la muestra.
Matemáticamente hablando la mediana sería: Me = , si n es impar --> Me será la observación central de los valores, una vez que estos han sido ordenados en orden creciente o decreciente.
Me = , si n es par --> Me será el promedio aritmético de las dos observaciones centrales.
n es impar
n es par
Observaciones:
• La mediana de un conjunto de datos es única.
• El valor de la mediana no es sensible a la presencia de datos extremos.
Uso de la mediana
Al tratar con datos agrupados, tendremos en cuenta que si n/2 coincide con el valor de una frecuencia acumulada, tomaremos como valor de la mediana el valor de la abscisa correspondiente. Si no coincide con el valor de ninguna abscisa, tendremos que calcular esa abscisa a través de semejanza de triángulos en el histograma o polígono de frecuencias acumuladas, utilizando la siguiente equivalencia:
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