FUNCIONES DE PROBABILIDAD

Unidad III
Funciones de Probabilidad

Conceptos
La funcion de probabilidad: es cuando a se le asigna un valor (X) a la funcion, la cual dice el valor posible de la variable aleatoria
-Variable Aleatoria: Es la variable que asocia un numero con el resultado de un experimento aleatorio.


Función de probabilidad

Lógicamente, una vez tenemos un suceso, nos preocupa saber si hay muchas o pocas posibilidades de que al realizar la experiencia se haya verificado.

Por lo tanto, sería interesante el tener alguna función que midiera el grado de confianza a depositar en que se verifique el suceso.

A esta función la denominaremos función de probabilidad.

La función de probabilidad será, pues, una aplicación entre el conjunto de resultados y el conjunto de números reales, que asignará a cada suceso la probabilidad de que se verifique.

La notación: P(A) significará: probabilidad de que se verifique el suceso A.

Pero claro, de funciones de probabilidad asociadas a priori a una experiencia aleatoria podrían haber muchas.

Lo que se hace para decir qué es y qué no es una función de probabilidad es construir una serie de propiedades (denominadas axiomas) que se exigirán a una función para poder ser catalogada como función de probabilidad.

Y, ¿cuáles son estos axiomas?

Pues los siguientes:

Sea S el conjunto de sucesos.

Axioma 1: Para cualquier suceso A, la probabilidad debe ser mayor o igual que 0.

Axioma 2: P(Ω) = 1

Axioma 3: Para sucesos Ai, de modo que cada par de sucesos no tengan ningún resultado común, se verifica que:

De este modo, pueden haber muchas funciones de probabilidad que se podrían asociar con la experiencia.

El problema pasa entonces al investigador para decidir cual o cuales son las funciones de probabilidad más razonables asociadas con la experiencia que está manejando.


Condiciones para que sea una funcion de probabilidad

1.- f(x) = P(X=x)

2.- f(x) ≥ 0

3.- ∑x f(x) = 1

Distribucion de probabilidad o distribucion de una variable aleatoria

Es una descripcion del conjunto de valores posibles de X (rango de X), junto con la probabilidad asociada con cada uno de estos valores.



Ejemplos

1.-un operador registra (redondeado al segundo mas cercano) el ensamble mecanico y los resultados se desglozan en la sig. tabla


(X)segu 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
No.Ensam 3 5 6 9 12 25 32 15 9 6
Probabi .02 .04 .049 .073 .980 .20 .26 .12 .073 .049



sea la variable aleatoria X el tiempo necesario para realizar un emsamble

a) determine la funcion de probabilidad de X
b) determine la prob. de que 33 ≤ X ≤ 38
c) Que proporcion de emsables se terminan de armar en 35 seg. o menos


b) P(33 ≤ X ≤ 38) = P(x=33) + P(x=34) + P(x=35) + P(x=36) + P(x=37) + P(x=38)

= (.073) + (.098) + (.20) + (.26) + (.12)

P(33 ≤ X ≤ 34) = .751

c) P(X ≤ 35) = .02 + .04 + .048 + .073 + .098 + .2

= .48

Proporcion = .48 (112) = 58.56

proporcion = 59

Funcion de Distribucion Acumulada

1.- La produccion diaria de 850 partes contiene 50 defectos, de un lote se escogen 2 partes alazar sin reemplazo.
sea la variable aleatoria X el numero de partes de la muestra que no cumplen con los requerimientos, cual es la funcion de distribucion acumulada

850 partes - 50 con defecto

2 piezas sin reemplazo

X={no. de partes defectuosas}

P(x=0) = (800/850) (799/849) = .886
P(x=1) = (50/850) (800/849) 2 = .110
P(x=2) = (50/850) (49/849) = .003





Funcion de probabilidad acumulada

f(x)

f(0) = .886
f(1) = .886 + .110 = .997
f(2) = .997 + .003 = 1

Valor Esperado de una Variable Aleatoria

la funcion de probabilidad f(x) se puede entender como una proporcion de los ensayos en los que X toma los valores de la variable. en los que la media de los valores X se puede calcular como el promedio ponderado de los valores posibles de X asignado el resultado X un facto de f(x)

M = E(x) = (∑X) f(x)

vease el siguiente ejemplo


X 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
FREC 6 1 1 3 2 2 0 1 4 0
f(x) .3 .05 .05 .15 .1 .1 0 .05 .02 0

M = E(x) = (∑X) f(x)

= 10 (.3) + 11 (.05) + 12 (.05) + ... + 19 (0)

= 13.45

Funcion Binomial

Tipos de experimento que la utilizan

- ensayo de bernoulli
-ensayos independientes
-cada ensayo solo tiene 2 resultados psobiels denominados exito y fracaso
-prob. de exito de cada ensayo denotado por P, permanece constante





donde P=exito y q=fracaso
Distribucion binomial


Parámetros de la Distribución Binomial








Ejemplo

1.- la probabilidad de que cada muestra de aire contenga una molecula rara particular es de 10%. Supongase que la muestras son independientes con respecto a la presencia de la molecula. Encuentre la prob. de que de las 18 muestras siguientes, exactamente 2 contenga la molecula rara.

P(x=2) = ( 18 C 2) [ (.1)^2 (.9)^16] = .284


Distribucion Normal

Cuando y , la distribución se conoce con el nombre de normal estándar.
Dada una variable aleatoria normal X, con media y desviación típica , si definimos otra variable aleatoria Z tendrá una distribución de porcentaje altamente normal aunque algunas veces muy estándar y a la vez pequeña y . Se dice que se ha tipificado o estandarizado la variable X.

entonces tenemos que






Ejemplo

1.- Supongase que las mediciones de corrientes revisados en la pista de alambre conductor sigue una media de 10 mAmp y una varianza de 4 mAmp. cual es la prob. de que el valor de la media sea mayor de 13 mAmp.

M = 10

^2 = 4 , =2

Z = 13 - 10/2

Z=1.5

P(x>13) = 1 - P(x<13) 9332 =" .0668" m =" nP" 2="nP" m =" (16" m=" 160" 2="nP" z =" 150" z=" -.79"> 150) = 1 - .2148

= .7852

La prob. de que se presenten mas de 150 errores, es .7852