UNIDAD 4

Inferencia Estadistica

Es el conjunto de procedimientos que se emplean para hacer inferencia y generalizaciones respecto a una totalidad, partiendo de un numero limitado de casos tomados de esta ultima.


X--Variable aleatoria continua

Estimacion Puntual

La estimacion puntual de algun parametro de la poblacion es un valor numerico de la estadistica

Los problemas de estimacion se presentan muy a menudo en ingenieria y aveces es necesario estimar la media de la poblacion. La varianza de proporcion de objetos de una poblacion que pertenecen a cierta clase de interes, por ejemplo :

Si X es la media muestral de una muestra aleatoria de tamaño n de un apoblación con varianza conocida, un intervalo de confianza para M de un porcentaje de confianza 100(1- α) está dado por:

La diferencia de medias entre 2 poblacionnes (M1-M2)

Distribucion de Muestras

Si X1, X2 ... Xn, es una muestra aleatoria de tamano n tomada de una poblacion (finita o no infinita) son media (M) y varianza finita y si X es la media muestral, entonces la forma limite de la distribucion Z cuando n tiende infinito es una distribucion normal estandar:








La aproximacion normal depende del tamano de la muestra

Si n ≥ 30 , se puede aplicar el TLC, para una poblacion con cualquier tipo de distribucion de probabilidad

Diferencia de Medias

Sean 2 poblaciones con medias M1 y M2, y varianzas conocidas
condicion:

Muestra debe ser n ≥ 30

si es menor, debemos tener la confianza de que la poblacion se distribuye de manera normal

Distribucion T

Se utiliza en el caso que la poblacion tenga "comportamiento normal"

Pero el tamano de la muestra es pequena ( n <>

El estadistico de T es el siguiente:




Distribucion Ji cuadrada

si se extraen todas las muestras posibles de una población normal y a cada muestra se le calcula su varianza, se obtendrá la distribución muestral de varianzas.
Para estimar la varianza poblacional o la desviación estándar, se necesita conocer el estadístico X2.
Si se elige una muestra de tamaño n de una población normal con varianza , el estadístico: donde n es el tamaño de la muestra, s2 la varianza muestral y la varianza de la población de donde se extrajo la muestra.

El estadistico de Ji cuadrada es el siguiente:








DISTRIBUCION DE LA F

Se emplea para probar si dos muestras provienen de poblaciones que poseen varianzas iguales. Esta prueba es útil para determinar si una población normal tiene una mayor variación que la otra y también se aplica cuando se trata de comparar simultáneamente varias medias poblacionales. La comparación simultánea de varias medias poblacionales se conoce como análisis de varianza. En ambas situaciones, las poblaciones deben ser normales y los datos tener al menos la escala de intervalos. La distribución F se define como la razón entre dos distribuciones ji cuadrada independientes, dividida cada una de ellas entre sus respectivos grados de libertad.


1.- Una compania de lectronica fabrica resistencias que tienen un valor promedio de 100 ohms y una desviacion estandar de 10 ohms. La distribucion de la resistencia es normal. Encuentre la prob. de que al tomar una muestra de n=25 resistencias, la resistencia promedio sea menor que 95ohms.

µ=100homs

σ=10 homs

P = Z < ( 95 - 100/10/√2) = Z < - 2.5 = .0062 n= 25

P = Z < ( 95 - 100/10/√2) = Z < - 2.5 = .0062 2.-Se toma una muestra de tamano aleatoria n=16 de una poblacion normal que tiene una media de 75 y una des. estandar de 8 y otra poblacion de 9, media 70 y des. estandar 12

a) Encuentre la prob. de que
P(X1-X2 > 4)


= 4 - (75-70) / √ (4 + 16)

= - 1 / 4.47

= -.223

P(X1-X2 > 4 ) = P(Z>-.22)

= 1 - .4168

= .5832



3.- El fabricante de un agente propulsor utilizado en sistemas de escape de emergencia le gustaria afirmar que su producto tiene una taza promedio de combustion de 40 plgs. por minuto. para Investigar esta proposicion, el fabricante prueba 25 granos de propulsion seleccionados alazar, si esl valor calculado -t.05,24 y t.05,24, entonces queda satisfecho. A que conclusion debe llegar el fabricante si tiene una distribucion de X = 42.5 inc/min y una desviacion estandar de .75 plgs/min.
Supongase que la taza de combustion tiene una distribucion normal.

-t.05,24 y t.05,24


n=25 granos
X= 42.5 inc/min
S=.075
M = 40 plgs



= 42.5 - 40 / .75/5

=2.5/1.5

= 16.66

4.- Considere los datos de conductividad del hierro.
Construya un intervalo de 95% para la coductividad terminca promedio y que se sabe que la desviacion estandar de la conductividad a 100 grados F y 550 wtts es de .3 btu/h-ft grado F

La conductividad termica es normal.

X=41.924 y n= 10


41.924 - 1.96 (.3/√10) <= M <= 41.924 + 1.96 (.3/√10) 41.738 <= M <= 42.110 5.- Los sistemas de escape de emergencia para tripulaciones de aeronave son impulsados por un combustible solido. Una de las caracteristicas importantes de este producto es la rapidez de la combustion. Las especificaciones requieren que la rapidez promedio de combustion sean 50 cm/seg. se sabe que la desviacion estandar de esta rapidez es de 2 cm/seg. El esperimentador decido especificar una prob. para el erro tipo I o nivel de significancion de a=.05. Selecciona una muestra de n=25 y obtiene una rapidez promedio muestral de cumbustion de 51.3 cm/seg. a) Utilizando la prueba de hipotesis, llegar a una conclusion.

M= 50 cm/seg

H0 : M=50

H1 : M ≠50

a=.05



El estadistico a utilizar es

porque conocemos la media y la varianza

Z* = 51.3 - 50 / 2 / √25

= 1.3 / .4

Z* = 3.25

Se toma decision

si Z* > Zα/2 o Z* < -Zα/2 se rechaza Ho como 3.25 > 1.96, por lo tanto se rechaza Ho.

Conclusion

Existe evidencia estadistica de que el valor especificado no se esta cumpliendo



Intervalos de Confianza

un intervalo de confianza es un rango de valores (calculado en una muestra) en el cual se encuentra el verdadero valor del parámetro, con una probabilidad determinada.

La probabilidad de que el verdadero valor del parámetro se encuentre en el intervalo construido se denomina nivel de confianza, y se denota 1-. La probabilidad de equivocarnos se llama nivel de significancia y se simboliza . Generalmente se construyen intervalos con confianza 1-=95% (o significancia =5%). Menos frecuentes son los intervalos con =10% o =1%.

Si es la media muestral de una muestra aleatoria de tamano n de una poblacion con varianza conocida, un intervalo de confianza para M de un porciento de confianza esta dado por :





donde Zα/2 corresponde al valor de la distribucion normal pura α/2.

Pruebas de Hipotesis

Al realizar pruebas de hipótesis, se parte de un valor supuesto (hipotético) en parámetro poblacional. Después de recolectar una muestra aleatoria, se compara la estadística muestral, así como la media (x), con el parámetro hipotético, se compara con una supuesta media poblacional (). Después se acepta o se rechaza el valor hipotético, según proceda. Se rechaza el valor hipotético sólo si el resultado muestral resulta muy poco probable cuando la hipótesis es cierta.

Se prueban los parametros de la poblacion y esos se han obtenido de:

-Experiencia en el proceso
-Especificaciones del proceso

Tipos de Hipotesis

Bilateral

Ho : M = 50 - Hipotesis Nula
H1 : M ≠ 50 - Hipotesis Alternativa

Unilateral

Ho : M ≤ 50 - Hipotesis Nula
H1 : M > 50 - Hipotesis Alternativa

Ho : M ≥ 50 - Hipotesis Nula
H1 : M <>


¿Como plantear Hipotesis?



P(Error tipo I) = α = P(Rechazar Ho/Ho verdadera) el valor de α lo decide el investigador

Ho : M ≥ 0 - Lo que queremos rechazar o aceptar
H1 : M <> Zα